Лабораторна робота №2 Виділення областей стійкості в площині параметрів системи Мета роботи: навчитись знаходити області стійкості в площині для одного та двох змінних параметрів системи автоматичного керування. Теоретичні відомості З теорії автоматичного керування відомо, що стійкість системи залежить від коефіцієнтів характеристичного рівняння, які визначаються параметрами системи. При зміні тих чи інших параметрів системи змінюється і її стійкість. Таким чином, змінюючи параметри, можна перетворити систему із стійкої в нестійку або навпаки. При конструюванні системи ряд параметрів, які визначаються вимогами технологічного процесу і конструктивними особливостями об'єкта керування, є наперед заданими. В той же час у розпорядженні конструктора є декілька параметрів, які він може змінювати. У зв'язку з цим дуже важливо знати, в яких межах можна змінювати дані параметри системи керування, забезпечуючи при цьому її стійкість. Іншими словами, потрібно знайти область зміни одного чи декількох параметрів, всередині якої система залишається стійкою. Задача побудови областей стійкості базується на виділенні в просторі коефіцієнтів характеристичного рівняння областей, які мають однакову кількість коренів з від'ємною дійсною частиною. Оскільки для стійкої системи корені характеристичного рівняння розташовані зліва від уявної осі, то, якщо при зміні кількох параметрів стійкої системи вона наближається до нестійкого стану, корені характеристичного рівняння будуть переміщуватись в лівій півплощині в сторону правої. При деяких значеннях змінюваних параметрів система виходить на межу стійкості. В цьому випадку один дійсний або два комплексних спряжених корені будуть знаходитись на уявній осі. Таким чином, якщо в характеристичному рівнянні замінити р на j, то отримаємо рівняння геометричного місця, яке розмежовує області, що мають різну кількість коренів в лівій півплощині. Це геометричне місце точок розташоване в n-мірному просторі, координатами якого є n змінних параметрів системи. Точки цього простору можна визначити для значень  в межах від – до +, знаходячи всі можливі поєднання значень n змінних параметрів, при яких характеристичне рівняння дорівнює нулю. Таким чином, n-мірний простір змінних параметрів розбивається на ряд областей, які ще називаються D-областями. Всі точки, що лежать всередині однієї області, характеризують системи з однаковою кількістю коренів в лівій півплощині. Пошук області стійкості зводиться до знаходження такої області, в якій кількість коренів в лівій півплощині є найбільшою і дорівнює степені характеристичного рівняння. На практиці знаходження областей стійкості відбувається для кількості параметрів не більше двох, оскільки в цьому випадку всі побудови відбуваються в площині параметрів системи або в комплексній площині. Виділення області стійкості для одного змінного параметра Нехай система, яку потрібно дослідити має характеристичне рівняння  EMBED Equation.3 
. (1) Виділимо в лівій частині цього рівняння досліджуваний параметр. Позначимо його буквою A і будемо розглядати як змінну комплексну величину A = x+ jy. Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді  EMBED Equation.3 
. (2) Проведемо заміну p = j і розв'яжемо рівняння (2) відносно A. У результаті можна записати  EMBED Equation.3 
, (3) де U(), V() – деякі функції від . Оскільки комплексні числа рівні тоді, коли окремо рівні їх дійсна та уявна частини, то з (3) можна записати  EMBED Equation.3 
 (4) Задамося деяким значенням і і визначимо відповідне йому значення параметра Aі. Якщо обчислений параметр Aі підставити у рівняння (2) замість A і розв'язати його, то серед всіх коренів буде обов'язково один, що дорівнює j. Знаходження одного кореня рівняння (2) при A = Aі показує, що значення параметра A знаходится на межі стійкості. Змінюючи  від –  до + , отримаємо для кожного значення відповідну величину Aі. Точка Aі на площині в системі координат (x,y) описує криву, яка є межею стійко...